Алексей Топчий родился 18 ноября 1978 года в Харькове.
В 1997 году окончил Харьковский техникум молочной промышленности, в 2002 году - Харьковский государственный экономический университет (специальность – «менеджмент организаций»).
1997 – 1998 годы - техник-механик ООО «Фон ЛТД».
1998 - 1999 годы - менеджер в фирме «Властелин – I».
2000 год - начальник отдела ООО «Релит».
2000 - 2001 годы - заместитель директора АОЗТ «Вторсплав».
2001 - 2002 годы - начальник службы безопасности ОАО «Укрэнерготеплоизоляция».
С 2002 года - директор частного торгово-производственного предприятия «Бриг».
В 2009 году награжден орденом «Звезда экономики Украины» III степени за профессиональное управление предприятием - лидером экономики Украины.
В 2009 году назначен тренером сборной Украины по спорту с собаками. Член спорткомитета, управляющий инициативной группой Кинологического союза Украины.
Депутат Харьковского горсовета 6-го созыва.